-1^(a/b)の話

がTwitterで出てるので、自分なりに考えてみた。
使ったのは高校数学レベル。でも数Bなので選択かなぁ。

まず√-1 = -1^1/2 = i なので、複素数平面で考えてみる。
複素数平面は簡単にいうとx軸に実数、y軸に虚数(i)を置くもの。
こうすることでベクトルと同様に扱えたり、a(cosθ+isinθ)としてあつかったりも出来る(ちょっとこの辺いい加減)。

んで、まず-1^1を考えてみる。-1をこの平面にプロットしてみると下の図の位置になる。これをcosとsinで扱うと、cos(π)+isin(π)になる(角度は弧度法。わからない場合はπ=180度と思えばいいです)。

次にこの-1^2(=1)をプロットすると下の図になる。これをまたcosとsinであらわすとcos(2π)+sin(2π)になる。

また、-1^1/2(=i)は下の図になる。cos(1/2*π)+isin(1/2*π)。

以上のことを踏まえると、-1^(n/2)ってのは、長さ1の直線を角度n/2*πだけ曲げたものだということがわかる。

実はド･モルガンの定理ってのがあって、

(cosθ+isinθ)^n = cos(nθ)+isin(nθ)

っていう式がある。確かこれは左辺を展開して加法定理とか使えばいけたはず。これを踏まえると、

-1^a/b = cos(a/b*π)+i*sin(a/b*π)

となるんじゃないかなぁ。

もともと本題は小数だとどうなるかってことだけど、小数ならx/(10^n) で表せるはずなので、
さっきの円における、角度x/(10^n)の部分なんじゃないかなぁ。例えば通常の角度で言うと、-1^(0.1)は180/0.1で18度のとことか。弧度法なら0.1πのとこ。